■ガウス平面

複素数の実部をｘ軸、虚部をｙ軸に対応させて出来る平面を複素平面と呼びます。
特に、下図のように表現される平面をガウス平面（Gaussian plane）といいます。

ガウス平面

Re 、 Im は Real と Image の頭２文字で、実軸と虚軸を表します。

原点からの距離を r 、正の実軸から時計回りの角度（偏角）を q で複素数を表現している座標系を極座標といいます。
表現方法が変わるだけで、本質的な値が変わるわけではありません。

z ＝ x + i y ＝ r ( cos q + i sin q )

極座標系への変換は以下の公式などを使用します。

r 2 ＝ x 2 ＋ y 2

cos q ＝ x r ＝ x ( x 2 ＋ y 2 )1/2 sin q ＝ y r ＝ y ( x 2 ＋ y 2 )1/2

逆変換は以下の公式を使用します。

x ＝ r cos q

y ＝ r sin q

■リーマン面

ガウス平面では q = q + 2np というように、 2p （＝３６０°）回転すると一周して元の位置に戻ると定義されていますが、
複素平面には他にも q ≠ q + 2np と定義されている平面（リーマン面 : Riemann surface）なんてのもあります。

ガウス平面とリーマン面

図がちょっと見にくくなってしまった（汗 黄色い平面がガウス平面で、らせん状になっているのがリーマン面。 複素数 z = x + i y を極座標表示に変換すると、対応する q は一個だけじゃないよ、ということが目視できる。

べつにリーマン面を使ったりはしないけど、こんなのもあるよっていうことで紹介。